Si nous abordons l’étude d’une fonction à variable réellenon pas de manière conventionnelle mais comme la particularisation du théorèmede Riemann sur les variétés et leurs singularités, alors notre vision desproblèmes devient radicalement différente du point de vue herméneutique. Danscette nouvelle perspective la recherche des caractéristiques devient un moyende compresser l’information et donc d’aboutir à une compréhension plus profondede la structure et de l’organisation de la fonction. Celle-ci initialementconsidérée comme un ensemble statique en raison de la définition formelle deson existence acquiert une dimension dynamique à travers la mise en évidence deses singularités géométriques. La dérivation dans ce nouveau cadre, n’est passeulement une vision locale des choses qui permet, entre autres, de définir lapente de la tangente. La dérivation permet de rechercher systématiquement lespoints caractéristiques après évidemment le traitement de la continuité qui nepeut aboutir du point de vue cognitif dans le cas de fonctions du type deWeierstrass puisque de nombreux objets fractals sont continus. Aussi bien lacontinuité que la dérivation ne sont plus interprétées comme des exemplesd’analyse locale mais multilocale. Car une fois intégrées dans ce nouveaucadre, elles apparaissent comme des outils d’une vision plus globale. Les pointsde singularités deviennent des informations pour l’ensemble de la courbe de lafonction. L’analyse multilocale examine la hauteur f(x₀) en tout x₀,la pente de la tangente grâce à f'(x)|x=x₀ et la courbure grâce àf”(x)|x=x₀. Ainsi la règle de de l’Hospital apparaît commeun système récursif qui exploite une information locale afin d’éliminer uneindétermination intrinsèque. De plus via cette approche, cette règle devient uncas particulier d’un outil encore plus puissant à savoir le développement deTaylor qui peut devenir par la suite un développement asymptotique. Le systèmerécursif de la règle agit sur les premiers termes du développement puis sur lessuivants via une ré-application. Ces outils mettent en évidence les caractéristiquesde la fonction étudiée et grâce à cela, permettent une codification decelle-ci. Cette codification si la fonction n’est pas trop complexe au sens dela théorie de l’élégance de Chaitin, permet de connaître l’ensemble de ce quiest nécessaire sur la fonction. C’est en ce sens que nous pouvons parler de compressionde l’information puisque la fonction considérée comporte initialement et pardéfinition une quantité infinie d’information si par exemple elle est définiesur un intervalle de l’ensemble des réels. Cependant la plupart de cetteinformation est redondante aussi l’étude de la fonction permet d’éliminer cetteredondance et via cela, compresser l’information. Au point que parfois lafonction peut a posteriori être considérée comme un petit ensembled’éléments structurels incompressibles et donc irréductibles puisque la pertede l’un d’entre eux engendre une perte irrémédiable sur la fonction. Ceséléments sont donc les codants de la fonction. Ainsi ce point de vue viaRiemann engendre la problématique de la compression optimale et donc parconséquent de la meilleure compréhension de la fonction. Cette dernièreapparaît donc comme un code qui doit être déchiffré grâce à l’analyse et à lagéométrie et une organisation via l’algèbre.