Ο Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή θεωρείται ορθώς ως ένας από τους καλύτερους ειδικούς του Λογισμού Μεταβολών. Υπάρχουν πολλοί λόγοι αλλά είναι σπάνιοι αυτοί που αγγίζουν την ουσία, ειδικά όταν αυτή έχει μια μαθηματική φύση. Πολλές εξηγήσεις, όμως, μπορούν να βρεθούν στο βιβλίο του Λογισμός Μεταβολών και μερικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Διότι αυτό το βιβλίο έχει ένα ειδικό ύφος που εξηγεί και ερμηνεύει τη στρατηγική προσέγγισή του. Ο Κ. Καραθεοδωρή ήταν ένας δάσκαλος με όλη τη σημασία της έννοιας. Ήθελε τον Λογισμό Μεταβολών ως εργαλείο της μηχανικής. Κατά συνέπεια, ένιωσε την ανάγκη να επανεξετάσει όλη τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων για να συνθέσει με τα αναλυτικά συμπεράσματα των μαθηματικών του παρελθόντος. Εξετάζει τη σχέση που ανέδειξε ο Hamilton στη γεωμετρική οπτική, τη συγκρίνει με την παρατήρηση του Jacobi και την ερμηνεύει ως ένα συμπέρασμα που έχει τη βάση του στις αρχές του Fermat και του Huygens. Ερευνά όλο το πλαίσιο όχι μόνο διδακτικά, αλλά και ιστορικά. Αναγνωρίζει, λοιπόν, το έργο και τη συμβολή του Beltrami στην αναζήτηση της σχέσης που υπάρχει μεταξύ της θεωρίας των επιφανειών του Gauss και την ανακάλυψη του Jacobi. Όμως, η πραγματική βάση του είναι η εισαγωγή του Hilbert και η θεωρία του Weierstrass, εισφορές στον Λογισμό Μεταβολών που δεν αξιοποίησε ο Hadamard. Βέβαια, για να γίνει πιο προσιτό το πρώτο μέρος του βιβλίου του απέφυγε τον φορμαλισμό του Lie με την ορθή δικαιολογία ότι υπήρχαν ήδη μοντέρνες προσεγγίσεις του Engel και του Faber. Ακολουθεί, λοιπόν, μια άλλη οδό εξίσου σημαντική με τις άλλες δύο, οι οποίες είναι ο Λογισμός Μεταβολών του Lagrange που, όπως λέει ο ίδιος ο Καραθεοδωρή, ανήκει πια στον Τανυστικό Λογισμό, και η θεωρία του Tonelli που ανέπτυξε τις λεπτές σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ θεωρίας συνόλων και προβλήματος του ελάχιστου. Η μεθοδολογία του Καραθεοδωρή, όπως το εξηγεί ο ίδιος, είναι προσανατολισμένη εντελώς διαφορετικά εφόσον οι βάσεις της είναι η θεωρία διαφορικών εξισώσεων, η διαφορική γεωμετρία και οι εφαρμογές στη φυσική. Εδώ το σημείο αναφοράς για τον Καραθεοδωρή είναι το έργο του Euler, δηλαδή Methodus inventendi lineas curvas. Και αυτό, βέβαια, δεν μας ξαφνιάζει εφόσον ο Καραθεοδωρή υπήρξε ο εκδότης των Απάντων του Euler που βρίσκονται ακόμα στο γραφείο του που κληρονόμησε η κόρη του. Μέσα σε αυτό το πλαίσιο εντάσσει και τη θεωρία του Weierstrass, αν και η σεμνότητά του εκφράζεται μόνο με την ελπίδα ότι κατάφερε αυτήν την ένταξη. 

Αυτό που θέλουμε να δείξουμε με αυτό το σύστημα αναφορών είναι ότι η ίδια η μεθοδολογία του Καραθεοδωρή είναι όχι μόνο ενδεικτική του μαθηματικού του ύφους, αλλά και της εμβέλειάς του ως ειδικού του Λογισμού Μεταβολών. Όπως είδαμε στη θεωρία μέτρου, ο Καραθεοδωρή θεωρείται από τον Bourbaki ως υπερβολικά αφαιρετικός, ενώ ανέδειξε την οδό που ανέπτυξε θεαματικά ο Hausdorff. Εδώ όμως η προσέγγισή του είναι πιο πρακτική όχι μόνο από την άποψη της μηχανικής, αλλά ιδιαίτερα από την κατεύθυνση που δίνει και που εξασφαλίζει φυσικές εφαρμογές. Πριν γίνει καθαρά μαθηματικός ο Καραθεοδωρή ήταν μηχανικός και δεν ξέχασε ποτέ τη δύναμη της εφαρμογής των μαθηματικών, ακόμα και των πιο αφαιρετικών.