Etude du problème : (Olympiades Mathématiques de Moscou)
Trouver les solutions de :

(a_i≠1)     a₁a₂+1≡0[a₃]   (1)
               a₁a₃+1≡0[a₂]   (2)
               a₂a₃+1≡0[a₁]   (3)

Proposition : a_i≠ a_j

Par l’absurde      a₁=a₂      (raisonnement symétrique)
a₂a₃+1≡1[a₁]    absurde.

On pose a₁23

Proposition : (a_i,a_j)=1

Par l’absurde:    a₁|a₂      (raisonnement symétrique)
a₂a₃+1≡1[a₁]      absurde.

Lemme : Si a₁a₂+1=a₃⇒ a₁,a₂,a₃=2,3,7
(1) est triviale
(2) a₁(a₁a₂+1)+1≡a₁+1≡0[a₂]
Or a₁2⇒a₁+1=a₂
(3)  a₂(a₁a₂+1)+1≡a₂+1≡0[a₁]
a₁+2≡0[a₁]
2≡0[a₁]⇒a₁=2⇒a₂=3⇒a₃=7.

Lemme :Si a₁a₂+1≠a₃⇒pas de solution.
Par l’absurde: si a₁a₂+1≠a₃⇒a₁a₂+1≥2a₃
Comme a₁23⇒a₁a₃+1≥2a₂ et a₂a₃+1≥2a₁
et
8a₁a₂a₃|a₁a₂+a₁a₃+a₂a₃+1

1/a₃+1/a₂+1/a₁+1/(a₃a₁a₂)>8

Or au mieux on a
1/3+1/4+1/5+1/(3.4.5)=4/5<1
Absurde