La récente démonstration de l’existence de progressions arithmétiques arbitrairement longues dans l’ensemble des nombres premiers par B. Green et T. Tao ne constitue pas seulement un résultat important et original, il s’agit avant tout d’un paradigme stratégique dans le domaine de la recherche mathématique.

Bien que le théorème de Green-Tao ne soit pas explicite dans le sens où il ne démontre pas la conjecture de Hardy-Littlewood (i.e. le nombre de progressions arithmétiques à k termes est asymptotiquement égal à C(k)*N^2/log(k)(n) où C(k) est un facteur numérique explicite), il répond à une question difficile. Cependant ce qui nous intéresse dans cette note, c’est la manière de procéder et non le résultat en soi.

En effet la démonstration de Green-Tao n’est pas une création ex nihilo. Elle exploite tout d’abord le théorème de Szemerédi (i.e. Soit N un entier naturel positif. Soit delta>0 un nombre réel positif fixé et soit k>=3 un entier naturel. Alors il existe un No(delta, k) minimal avec la propriété suivante. Si N>=No(delta,k) et A inclus dans ou égal à Z/NZ un ensemble quelconque de cardinalité au moins delta*N, alors A contient une progression arithmétique de longueur k. Elle est de plus moins combinatoire mais massivement ergodique c’est-à-dire dans la lignée de la démonstration de Furstenberg. Enfin elle fait la jonction avec un résultat technique de Goldston-Yildirim.

La puissance de la démonstration de Green-Tao provient d’une part de son approche qui est au centre de la théorie ergodique sans s’attacher au cadre strict de la théorie des nombres. D’autre part, elle complète le résultat de Szemerédi qui est ancien (1969) et celui de Goldston-Yildirim qui n’était pas encore publié au moment de son élaboration. Grâce à ce chaînon manquant, elle structure la vision ergodique du problème initial et le résout grâce à une machinerie technique. Elle représente donc l’exemple idéal de la vision stratégique qui domine toutes les données présentes aussi bien les classiques et les récentes, et qui agit en minimisant le coût de l’attaque finale grâce à la mise en place d’éléments techniques efficaces. Ainsi elle montre que cette voie est aussi une possibilité pour résoudre des problèmes difficiles.