Après avoir défini (page 11), les notions de branche (arête), nœud (sommet), graphe, parcours (chemin), extrémités d’un chemin, maille (circuit ou cycle) et une coupe (faisceau), les auteurs énoncent les deux lemmes de Kirchhoff (page 12).

Premier Lemme de Kirchhoff :

La somme algébrique des courants circulant dans l’ensemble des branches incidentes au même nœud est nulle.

Second Lemme de Kirchhoff :

La somme algébrique des tensions aux bornes des branches constituant une maille est nulle.

Ils remarquent judicieusement que le premier est un postulat et que le second n’est qu’un corollaire des définitions de la tension et de la connexion.

Théorème :

La somme des puissances absorbées par toutes les branches d’un réseau est identiquement nulle.

Ainsi que le théorème de Tellegen (page 22).

Théorème de Tellegen :

Pour un réseau donné par son graphe, tout ensemble ib de courants de branche vérifiant le premier lemme de Kirchhoff pour tous les nœuds et tout ensemble ub de tensions de branche vérifiant indépendamment le second lemme de Kirchhoff pour toutes les mailles, vérifient la relation : Somme ubib=0.

Auparavant (page14), ils mettent en évidence la notion de dualité qui sera précisée bien après (page 164).

Soit G1 un graphe connexe à b1 branches et n1 nœuds ; son dual G2(b2,n2), s’il existe, est défini comme suit :
Les branches de G1 et de G2 se correspondent d’une façon biunivoque : b1=b2.
A tout nœud de G1 correspond à une maille de G2 et le rang de G1 est égal à la nullité de G2 : n1-1=b2-n2+1.

Pour mettre en avant la signification énergétique des lemmes de Kirchhoff, ils énoncent le théorème suivant (page 21).

Après avoir donné, l’expression matricielle des lemmes (page 121), et énoncé une version simplifiée du théorème de Kuratowski sur la caractérisation des graphes planaires, nous préférons pour notre part le formalisme des graphes mineurs, ils énoncent le théorème suivant (page 164).

Théorème :

La condition nécessaire et suffisant pour qu’un graphe possède un dual est qu’il soit planaire.

L’ensemble de ces considérations, nous permet de mettre en évidence un problème intrinsèque de la théorie des réseaux de Kirchhoff lorsque nous voulons l’appliquer à des mousses céramiques ou métalliques. Le problème provient de la notion de maille. En effet, celle-ci jour un rôle clef en raison du second lemme de Kirchhoff. Pour éviter le problème de la définition de la maille dans un espace à trois dimensions, il suffit de se restreindre au cas planaire via la notion de dualité. Car la restriction aux ceux dimensions, permet de gérer aisément la notion de maille qui se résume à un contour. Le problème fondamental, mis en évidence par la théorie spectrale des mousses, c’est que ces dernières sont non planaires dans des cas réels, puisque nous avons exhibé la présence du graphe complet à 5 éléments en tant que graphe mineur mais aussi grâce au calcul du polynôme caractéristique de la matrice laplacienne de leur graphe.

                                                                    Référence

R. Boite et J. Neirynck : Théorie des réseaux de Kirchhoff. Editions Dunod 1983.