The Saint-Petersburg paradox by N. Bernouilli.

A banker flips a coin n+1 times. The player wins 2^(n-1) coins if n tails occur before the first head. The outcomes are made clear in the following chart: Coins won: 2^(n-1), Probability 1/(2 ^n), expected winnings 1/2 . The cumulative expected win is 1/2+ 1/2 + 1/2 + …= infinity. How many coins must the player risk in order to play? To determine the fair ante, each party must decide how much he is willing to gamble. Specifically, the banker asks for his expected loss – it is an infinite number of coins. The player disagrees because he assumes he will probability one (two coins of fewer with probability 3/4 , …) The two parties can not come to an agreement. Why? The modern answer is that they are trying to determine a characteristic scale for a problem that has no characteristic scale.

L’idée clef de l’invariance d’échelle bien qu’universelle n’est pas naturelle comme le montre le paradoxe de Saint-Pétersbourg. Sa présence rend inadéquates certaines méthodologies car elles sont spécifiques et relatives à des échelles données. Dans le cadre d’une formulation générale, elles correspondent à des méthodes ad hoc qui ne touchent pas à l’essentiel du phénomène ou de la problématique. Sur le plan cognitif, nous retrouvons l’idée d’invariance d’échelle dans l’heuristique d’Alexander Grothendieck quant à la résolution d’un problème mathématique. En effet son heuristique est basée sur des structures qui sont capables de supporter sans dégénérer une succession de généralisations du problème initial. Pour lui, l’essentiel est dans la généralisation et s’il s’y trouve c’est que la généralisation est invariante d’échelle. L’universalité de cette dernière propriété ne provient pas de son omniprésence mais de la profondeur de sa rareté. Dans sa nature, elle contient une information a priori infinie qui est pourtant capable de gérer des systèmes ouverts et des structures finies. Et c’est sans doute cela le paradoxe de cette idée clef à savoir son implication dans le domaine de la physique alors qu’elle semble être purement mathématique à l’instar d’un objet fractal qui n’a de sens véritable que lorsqu’il est codé par l’infini. Cela fait de l’invariance d’échelle, une structure traversante sur le plan cognitif. Elle agit directement sur le substrat fondamental de la problématique sans être altérée par des détails locaux. En ce sens elle est fondamentalement holistique. Et ce fait explique la difficulté d’appréhension. Intouchable par la déduction et l’induction, elle représente le résultat d’une abduction créative. Elle rejoint aussi l’idée paradoxale d’Albert Einstein qui affirme que seule la théorie peut montrer le chemin de l’expérience. Car les faits expérimentaux ne peuvent atteindre les structures traversantes qu’a posteriori. Ainsi l’invariance d’échelle apparaît comme un élément cognitif qui confirme l’importance de l’infini dans le fini et qui lui confère le statut de superstructure traversante. Ainsi le fini pourrait être interprété non seulement comme une partie de l’infini mais comme un assemblage d’infinis qui s’entrelacent pour donner naissance à de nouvelles entités mathématiques qui possèdent un sens physique.