Οι θεωρίες που αποτελούν την επιστήμη των μαθηματικών εξετάζουν αντικείμενα από τα πιο ποικίλα είδη: δεν είναι μόνο οι πραγματικοί και μιγαδικοί αριθμοί, τα σημεία, τα σχέδια κι υποσύνολα χώρων πεπερασμένου ή άπειρου αριθμού διαστάσεων μιας αυθαίρετης τοπολογικής δομής, και συναρτήσεις ποικίλων ειδών, παραδείγματα τέτοιων αντικειμένων αλλά κι όλες οι πράξεις που μπορούν να εφαρμοστούν σε όλα αυτά τα πράγματα.

Παρόλη αυτή τη μεγάλη ποικιλία του υλικού, υπάρχουν κλάδοι εντελώς ξεχωριστοί των μαθηματικών, μεταξύ των οποίων έχουμε μία εντυπωσιακή αναλογία. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι περισσότερες προτάσεις που έχουν ενδιαφέρον, σε κάθε περίπτωση δεν εξαρτούνται τελικά στην ειδική επιλογή των αντικειμένων που μας απασχολούν, αλλά πιο πολύ σε μερικές ιδιότητες τις έχουν αυτά τα αντικείμενα.

Αυτό υποδηλώνει άμεσα τότε ότι αυτές οι χαρακτηριστικές ιδιότητες πρέπει να εξεταστούν ως το κύριο αντικείμενο της έρευνας, ορίζοντας και μελετώντας αφαιρετικά αντικείμενα που δεν πρέπει να ικανοποιούν άλλες συνθήκες από αυτές που είναι απαραίτητες στη θεωρία που πρέπει να αναπτυχθεί.

Αυτή η διαδικασία έγινε – περισσότερο ή λιγότερο συνειδητά – από τους μαθηματικούς του κάθε τομέα. Η γεωμετρία του Ευκλείδη κι ο αλγεβρικός λογισμός των δεκάτου έκτου και δεκάτου εβδόμου αιώνων εμφανίστηκαν με αυτόν τον τρόπο. Αλλά μόνο τα πρόσφατα χρόνια αυτή η μέθοδος που ονομάζουμε αξιωματική μέθοδο, αναπτύχθηκε με συνοχή κι έφερε τα λογικά της συμπεράσματα.