Notre étude de la fonction tau(n) de Ramanujan a débuté avec notre lecture du Cours d’Arithmétique de Serre. Une recherche systématique sur les congruences satisfaites par cette fonction modulaire nous a conduits à une correspondance avec l’auteur de cet ouvrage.

Celui-ci, après avoir examiné certaines de nos propositions et de nos conjectures, nous a indiqué quelques directions de recherche. L’une d’entre elles concernait l’étude de cette congruence très particulière, à savoir τ (p) ≡ 0 [p] pour p premier. C’est d’ailleurs Serre qui nous a appris pour la première fois l’existence de la solution 2411 trouvée par Newman, via un échange ultérieur.

En examinant la littérature du domaine, nous avons remarqué que dans le passé, les théoriciens des nombres pensaient que les solutions 2, 3, 5 et 7 étaient uniques. En constatant ce changement de phase théorique qui a résulté de cette découverte numérique, nous nous sommes intéressés à la recherche des autres solutions et en particulier de la suivante.

Dans une nouvelle lettre, Serre, qui a été informé de nos premiers calculs, nous a expliqué le schéma mental de la log-log-philosophie que lui avait appris Atkin. C’est après cette explication que nous sommes entrés en contact avec ce dernier, qui nous a indiqué l’étendue de ses recherches dans ce domaine et en particulier sur la fonction de Ramanujan.

Dans le but d’approfondir ce type de techniques nous avons généralisé notre problème aux puissances de la fonction êta de Dedekind. Nos premières explorations ont été concluantes sur la puissance lacunaire 26 via une autre approche sur un problème de lacunarité traité par Serre.

Cependant, rapidement, nous avons atteint les capacités calculatoires des ordinateurs auxquels nous avions accès afin de trouver une autre méthode. Cette fois, le changement de phase s’est opéré grâce à Cohen et à la découverte des tables de Hurwitz. Cette approche nous a permis d’étendre nos calculs mais la solution étant toujours hors de portée.