Nous avons travaillé avec Mathematica pour tenter de trouver un moyen NATUREL afin d’ajuster un tenseur ayant une divergence nulle en commençant initialement avec un tenseur symétrique de rang deux. Ceci a conduit au problème, étant donné un vecteur correspondant à la divergence d’un tel tenseur, de trouver de manière naturelle un tenseur de taille minimale qui a ce vecteur comme divergence. Ensuite cette étude a mené à l’étude de ce problème dans le cas d’une géométrique plate et du cas le plus simple de deux dimensions. Il y a quelques jours de cela il semble, en utilisant Mathematica que nous ayons trouvé les conditions que le vecteur divergence doit satisfaire, lorsque lui-même et le tenseur dont il doit être la divergence DOIVENT ETRE LOCALISES dans l’espace (de deux dimensions pour les calculs explicites avec Mathematica).

Nous avions un modèle d’une sorte de polynômes représentant un vecteur localisé d’un champ de divergence et un modèle (avec considérablement plus de variables libres) de polynômes représentant les termes d’un tenseur (Ceux-ci sont inclus comme fichiers dérivés du travail avec Mathematica).

Nous avions été chanceux de trouver que la résolvabilité des équations pour que la divergence du tenseur soit le vecteur REQUERAIT certaines conditions simples sur le vecteur. (Ceci a été obtenu accidentellement quand les équations de la correspondance n’avaient pas initialement une solution en général (ou pour certaines versions spécifiques du vecteur) et nous avons utilisé l’opération de Mathematica “Eliminate” sur les équations de la correspondance de la divergence avec les variables décrivant les coefficients polynomiaux pour l’ensemble des termes du tenseur comme ceux à éliminer.

Trois conditions résiduelles ont été révélées par Mathematica.
Nous avons vérifié en premier que deux des trois conditions (chacune d’elles s’appliquait uniquement aux coefficients de l’un des deux vecteurs et non à ceux de l’autre) étaient représentatives de la contrainte que nous connaissons précédemment. Cette contrainte connue est l’intégrale double de chaque vecteur, sur l’espace où les choses peuvent ne pas disparaître, doit être nulle, en raison de sa relation avec les dérivées des tenseurs qui sont elles-mêmes non nulles dans une région locale.

La troisième condition est venue par surprise, mais après étude de la condition révélée sur les coefficients polynomiaux qui définissent les vecteurs que nous avons découverts, qu’elle correspond à l’intégrale x1*k2 – x2*k1 sur l’aire locale, disparaisse. (Ensuite, rétrospectivement, par intégration par partie nous avons vu que cette condition dérive de la relation du vecteur divergence avec le tenseur (LOCALIZED !) Cela probablement généralise aux dimensions supérieures, avec un tenseur anti-symétrique et n composantes du vecteur de manière à ce que n + ((n-1)*n)/2 = n*(n+1)/2 conditions intégrales soient valables pour le vecteur.
Nous incluons des fichiers Mathematica sur ce travail.