Nous pouvons définir un concept de jeu à n-personnes dans lequel chaque joueur a un ensemble fini de stratégies pures et dans lequel un ensemble défini de paiements aux n joueurs correspond à chaque n-tuple de stratégies pures, une stratégie étant prise par joueur. Pour les stratégies mixtes, qui sont des distributions de probabilités sur les stratégies pures, les fonctions payoff sont les espérances des joueurs, elles deviennent des formes multilinéaires dans les probabilités avec lesquelles les différents joueurs jouent leurs stratégies pures différentes.

Tout n-tuple de stratégies, un pour chaque joueur, peut être regardé comme un point dans l’espace produit obtenu en multipliant les n espaces de stratégie des joueurs. Un tel n-tuple contre un autre si la stratégie de chaque joueur dans le n-tuple de riposte conduit à la plus grande espérance obtenu pour son joueur contre les n-1 stratégies des autres joueurs dans n-tuple de riposte. Un n-tuple auto-ripostante est appelé un point d’équilibre.
La correspondance de chaque n-tuple avec son ensemble de n-tuples de riposte donne un recouvrement multiple de l’espace produit dans lui-même. De la définition de la riposte, nous voyons que l’ensemble des points de riposte d’un point est convexe.
En utilisant la continuité des fonctions payoff, nous voyons que le graphe du recouvrement est fermé. La fermeture revient à dire de manière équivalente : Si P₁, P₂,… et Q₁, Q₂,….,Q_n,… sont des séquences de points dans l’espace produit, où Q_n→Q, P_n→P et Q_n contre P_n alors Q contre P.
Comme le graphe est fermé et comme l’image de chaque point sous le recouvrement est convexe, nous en déduisons du théorème de Kakutani¹ que le recouvrement a un point fixe. (i.e point contenu dans son image). Aussi il y a un point d’équilibre.
Dans le cas de deux personnes, à somme nulle, le « théorème principal »² et l’existence d’un point d’équilibre sont équivalents. Dans ce cas, tout couple d’équilibre conduit aux mêmes espérances pour les joueurs, mais cela n’est pas nécessaire en général.

*L’auteur est redevable au Dr. David Gale pour la suggestion d’utiliser le théorème de Kakutani pour simplifier la preuve et à A.E.C. pour le soutien financier.

1 Katutani, S., Duke Math. J., 8, 457-459 (1941)
2 Von Neumann, J., and Morgenstern, O., The theory of Games and Economic Behaviour, Chap 3, Princeton Univertisty Press, Princeton, 1947