En Relativité Générale, le champ gravitationnel forme la structure géométrique de base de l’espace métrique, tandis que le champ électromagnétique n’est pas relié à la géométrie de l’espace. De nombreuses tentatives ont été effectuées pour réaliser une nouvelle théorie de la gravitation et de l’électromagnétisme dans une géométrie modifiée où il y aurait la place et la nécessité d’introduire un autre objet géométrique en dehors du tenseur métrique. Une des plus ingénieuses de ces tentatives, c’est indiscutablement la géométrie de H. Weyl qui est invariante par jauge. Néanmoins, malgré la beauté de cette conception géométrique, cette géométrie n’a pas conduit à une théorie à succès. Le formalisme via lequel nous présentons la géométrie de Weyl est différent du sien, mais il est équivalent comme il en va de la formation des covariants. Toutes les formations covariantes du formalisme de Weyl correspondent à des covariants de la représentation choisie ici et vice versa. Notre formalisme, cependant, élimine un aspect non-invariant du formalisme de Weyl, le paramètre de jauge, et les transformations correspondantes, les transformations de jauge.
Dans un espace métrique, l’intervalle d’espace-temps entre deux points du monde infiniment près, dτ, est un invariant. À chaque point du monde, appartient un « cône » invariant de directions selon lesquelles le dτ disparait, c’est le « cône de lumière ». L’idée de Weyl était de modifier la géométrie de manière à ce que l’invariance du cône de lumière soit maintenue, tandis que le dτ perdrait son caractère d’invariant. Que cela ait un sens dans l’expérience physique, c’est un sujet à débat. Il y a peu de doute que les directions possibles des rayons lumineux soient une propriété invariante de l’espace physique. Mais il y aussi les « horloges atomiques » qui nous procurent avec des standards universels une unité de temps propre. Bien sûr, peut-être que dans la réalité, la fréquence d’une ligne spectrale standard est sujet à de petites variations, telles que, à strictement parler, il n’y ait pas de standards rigoureux pour des mesures de temps propre. Néanmoins nous devons accepter à titre expérimental la proposition de base de Weyl et développer une géométrie qui satisfasse ses requis.