Dans son article intitulé La Géométrie synthétique, paru dans la Revue de l’Université de Bruxelles, en 1900-1901, Constantin Carathéodory tente d’expliciter sa vision de la géométrie pure via une présentation diachronique. Il remarque tout d’abord que la géométrie pure est l’une des premières branches mathématiques à se constituer comme une discipline en soi. Les perfectionnements apportés dans l’antiquité grecque, particulièrement par les savants de l’Ecole d’Alexandrie, ont conduit cette discipline à un véritable art en termes de complétude. La période de la Renaissance a tenté de reprendre le même schéma mental mais sans aller au delà de la géométrie pure. C’est cette tentative qui a abouti à la formalisation de l’analyse. Dans le domaine strict de la géométrie pure, Carathéodory considère que les efforts produits par Viète, Fermat, Pascal, Desargues, Newton, La Hire, n’ont eu comme résultats que la reconstitution des mathématiques grecques. Pour lui le changement de phase cognitif s’effectue durant le premier tiers du XIXème siècle avec l’introduction de la géométrie supérieure ou synthétique. Cependant, comme il le précise, celle-ci n’a rien à envier en termes d’élégance et d’efficience et d’efficience aux mathématiques grecques. Elle est supérieure à la géométrie analytique basée sur la méthodologie de Descartes car cette dernière montre ses limites dans des problèmes abstraits. Il est certes possible de palier à certains de ses défauts avec l’introduction d’invariants et de covariants mais en contre partie elle nécessite une augmentation considérable de la complexité alors que la géométrie synthétique résout les mêmes problèmes de manière élémentaire. La rupture cognitive est donc sans appel. Aussi la révolution cognitive se produit en France avec Monge, Carnot, Brianchon, Dupin, Gergonne, Poncelet et Chasles. Ce nouveau courant de pensée va se transmettre peu à peu à l’ensemble de l’Europe savante. Ensuite le relais est pris par Steiner et von Staudt. Cette fois, la phase est plus formelle et elle permet de recentrer la recherche dans un cadre plus net. Il s’agit d’un développement systématique mais ce n’est pas encore une approche axiomatique. Ensuite Carathéodory aborde en détail les notions d’homographie et de dualité. Ceci le conduit au théorème suivant :

Si un faisceau de quatre droites passent par un même point de l’espace ou un faisceau de quatre plans passant par une seule droite de l’espace rencontrant la droite suivant les quatre points donnés, on démontre que toute droite qui rencontre le faisceau de droites ou le faisceau de plans est coupée en quatre points ayant le même rapport anharmonique.

Via les notions présentées, il en arrive aux exemples suivants :

1) Le lieu de l’intersection de deux éléments homologues de deux faisceaux projectifs est une conique passant par leurs centres et toute consigne peut être engendrée de cette façon.

2) Le lieu de l’intersection de deux éléments homologues de deux étoiles réciproques est une surface de second degré passant par leurs centres et toute surface du second degré peut être engendré de cette façon.

3) Le lieu des droites qui joignent les éléments homologues de deux séries de points projections qui ne se trouvent pas dans un même plan est une surface réglée du second degré.

4) Si l’on a une correspondance réciproque dans l’espace, les points du premier espace qui passent par leurs plans homologues, se trouvent sur une surface du second degré à laquelle ces plans sont tangents.