L’étude de Carathéodory parue dans le Bulletin of the American Mathematical Society en 1928, intitulée Remark on a Theorem of Osgood concerning convergent Series of analytic Functions, lui offre l’occasion de développer une nouvelle approche démonstrative dans le domaine de la théorie de la variable complexe. Son point initial, c’est le théorème de Osgood. Celui-ci a démontré en 1901, que toute séquence de fonctions analytiques qui converge dans une région du plan complexe doit converger uniformément dans au moins une sous-région de cette région. La remarque de Carathéodory consiste à dire que le théorème de Osgood est aussi valable pour les fonctions méromorphes à condition d’étendre la définition de convergence uniforme dans un voisinage d’un point de manière à inclure les fonctions ayant des pôles. Cette remarque est le prétexte pour Carathéodory afin de présenter sa vision. En effet il met en évidence que tous les théorèmes ayant trait à la convergence uniforme peuvent être démontrés plus aisément si la convergence uniforme est remplacée par le concept de convergence régulière. La définition qu’il utilise est la suivante :

Soit une séquence f_n (z) de fonctions méromorphes dans une région fermée A. Elle converge régulièrement en un point z₀ de A, si pour toute séquence de points z₁, z₂, … appartenant à A, et convergente en z₀, la limite (finie ou infinie) existe.

Carathéodory met de plus en exergue que cette définition englobe toutes les extensions du concept de convergence uniforme comme il le précise dans son article intitulé Stetige Konvergenz und normale Familien paru dans les Mathematische Annalen en 1929. Grâce à cette extension, il parvient à généraliser le théorème de Osgood de manière très élégante. En effet, il utilise la contradiction suivante pour mettre au point son raisonnement par l’absurde : si le théorème de Osgood généralisé n’est pas valable cela implique l’existence d’une infinité dense de singularités. Seulement en les caractérisant par des propriétés, Carathéodory montre que cette séquence de fonctions contredirait le fameux théorème de Baire, à savoir que la limite d’une séquence de fonctions continues bornées ne peut être totalement discontinue. Cependant l’intérêt de l’approche de Carathéodory ne se réduit pas à cela. En effet cette méthodologie permet de mettre en place une approximation des fonctions méromorphes à l’aide de fonctions rationnelles. De manière plus précise, il est possible, selon Carathéodory, de choisir des fonctions rationnelles f_n (z) qui convergent sur R_K en une fonction arbitraire méromorphe φ_K(z) sur R_K et qui converge sur S – l’ensemble fermé borné de la limite des frontières des R_K – en toute fonction φ(z) qui peut être interprétée comme la limite d’une séquence de fonctions rationnelles. Pour le démontrer, Carathéodory exploite l’idée de l’approximation d’intégrales par des sommes finies de fonctions rationnelles.

L’ensemble de son étude nous indique une méthodologie qui suit un schéma mental classique de Carathéodory : exploitation jusqu’à saturation d’un théorème en utilisant un arsenal générique pour mettre en place une nouvelle vision des choses. Ceci n’est pas sans rappeler la méthodologie, encore plus systématique quant à la généralisation, de Grothendieck.