Dans le Bulletin de la Société Mathématique de France, Jacques Hadamard a publié en 1906, un mémoire sur les transformations ponctuelles continues. Il a étudié un système d’équations du type : avec où les variables réelles sont interprétées comme les coordonnées d’un point de l’espace à n dimensions et où les variables correspondantes représentent son image. Un des points clefs du mémoire de Jacques Hadamard, c’est l’obtention de conditions suffisantes pour que chaque point de l’espace correspondant soit l’image d’un point et d’un seul de l’espace initial. Dans son travail, il suppose que le déterminant fonctionnel est différent de zéro.

Dans le Bulletino dell’Unione Mattematica Italiana, Constantin Carathéodory a montré que même s’il existe un point exceptionnel pour lequel le déterminant fonctionnel s’annule ou n’existe pas, le résultat d’ Hadamard demeure tel quel si n est plus grand que deux.

Dans le Bulletin de la Société Mathématique de Grèce, Constantin Carathéodory a généralisé cette modification et a montré que les points exceptionnels peuvent former des ensembles très compliqués sans pour autant qu’il soit nécessaire de changer dans le fond la démonstration.

Pour cela, il a introduit les points réguliers et les points singuliers. L’ensemble {R} des points réguliers étant ouvert, l’ensemble {S} des points singuliers est fermé et il en est de même pour l’ensemble {S’} des images de ces points. A’ est l’ensemble ouvert complémentaire de {S’} dans l’espace des images. Constantin Carathéodory a effectué les 4 hypothèses suivantes :
a) L’ensemble ouvert {R} est connexe et dense partout dans E _n.
b) L’ensemble A’ est dense partout dans , connexe et connexe aux environs de chacun des points de cet espace.
c) Toute courbe fermée située dans A’ peut être réduite à un point par déformation continue sans sortir de cet ensemble.
d) Si les points situés dans A’ convergent vers un point intérieur de A’, les points de l’espace E _n (s’ils existent) qui ont pour images forment toujours un ensemble borné.

Grâce à ses hypothèses, Constantin Carathéodory a démontré que :
1) chaque point de A’ est l’image d’un point régulier de E _n ,
2) chaque point régulier de E _n a un point (intérieur) de A’ pour image,
3) à deux points réguliers différents R ₁ et R ₂ correspondent toujours des images distinctes.

Cela évidemment comme l’a remarqué Constantin Carathéodory ne suffit pas pour démontrer que chaque point de S’est l’image d’un point de S unique. Pour le démontrer, il a remplacé la première condition par la suivante à savoir que l’ensemble {S} doit être partout discontinu.

La généralisation de Carathéodory est beaucoup plus puissante que le théorème d’Hadamard même modifié. En effet dans ce nouveau cadre, les ensembles {S} et {S’} peuvent avoir la puissance du continu et même une mesure de Lebesgue non nulle.

Ceci montre indirectement la puissance du calcul des variations dans cette problématique.