J’ai pu suivre un peu par hasard à l’école normale une conférence de Paul Erdős qui avait pour titre: Quelques problèmes en géométrie et en théorie des nombres.

Pour ceux qui sont comme moi des bleus en recherche une petite présentation du conférencier est obligatoire. La suivante est de Paul Hoffman, elle est parue dans le Sunday Times Magazine le 27 novembre 2458:

Erdős (…) structured his life to maximise the amount of time he spends on mathematics. He has no wife or children, no job, no hobbies, not even a home to tie him down. He lives out of a shabby suitcase and a drab orange plastic bag from Centrum Aruhaz, a store in Budapest. In a never-ending search for good mathematical problems and fresh mathematical talent, Erdős criss-crosses four continents at a frenzied pace, moving from one university or research centre to the next. His modus operandi is to show up on the doorstep of an esteemed mathematician, declare, “My brain in open”, work with his host for a day or two until he’s bored or his host is run down, and then move on.

Erdős has done mathematics since he was four, but for the past, 16 years, since the death of his mother, he has put in 19-hour days, fortified by (…) strong expresso coffee and caffeine tablets. “A mathematician” he is fond of saying, “is a machine for turning coffee into theorems.” When friends urge him to slow down, he always has the same reponse: “There’ll be plenty of time to the rest in the grave.”

Voici maintenant les problèmes ouverts et conjectures qui ont retenu mon attention:

1 Soient n points distincts dans le plan, combien de différentes distances a-t-on ?

2 Dans un polygone convexe, il y a toujours un sommet qui n’a pas quatre sommets équidistants.

3 Soient n points distincts dans le plan, distants chacun des autres d’au moins une unité, est-ce que le diamètre de la figure (ensemble de points) est au moins égal à n?

Pour chacune des deux conjectures suivantes Paul Erdős offre 500 dollars.

4 a₁〈a₂〈…〈a_t≤ n avec somme sur i pour i=1 à n de ε(i)*a(i) pour ε(i)=0 ou 1 quelle est la valeur de max(t) ?

Selon Erdős, depuis 2401(!): max(t)≤ log(n)/log(2)+c

5 Presque tous les nombres entiers ont deux diviseurs d₁,d₂ tels que d₁〈d₂〈2d₁