Même si l’étude des mousses métalliques et céramiques, via la théorie spectrale des graphes, peut paraître surprenante au premier abord, il n’en demeure pas moins qu’elle engendre de nouvelles idées capables d’enrichir non seulement notre vision stéréotypée de celles-ci, mais aussi de permettre à d’autres approches de prendre le relais sur le plan géométrique. En effet dans un premier temps, nous ne prenons que le point de vue topologique, pour caractériser la complexité des mousses étudiées. À partir de la partie solide, qui même si elle est moins robuste en termes d’analyse, représente néanmoins un élément universel, nous ne considérons que le squelette combinatoire pour générer le graphe topologique grâce aux sommets et aux arêtes. En ayant ce graphe, qui est par ailleurs simple alors que cela n’est pas évident a priori nous pouvons l’imaginer dans l’espace tridimensionnel pour le traiter à l’aide de la théorie spectrale des graphes afin de mettre en évidence, l’existence de certaines propriétés qui sont essentiellement indépendantes de la nature géométrique de la problématique. À travers le calcul de la matrice d’adjacence, il est possible de calculer le polynôme caractéristique et l’ensemble de ses valeurs propres pour obtenir une représentation de son spectre.

Cette approche permet de surmonter une difficulté intrinsèque due au polynôme caractéristique dont le degré dépend absolument du nombre de sommets de la mousse. Il en est de même d’ailleurs pour les coefficients de termes de plus haut degré par rapport au nombre d’arêtes de la mousse, excepté le coefficient de tête qui est unitaire et le second qui est nul en raison de la trace identiquement nulle de la matrice d’adjacence associée. L’utilisation directe du spectre et ce, même de manière numérique, permet d’accéder à la courbe associée et donc de pouvoir parler de similitudes. En effet, même si la notion de graphe cospectral est rigide, dans le sens où elle implique une identité effective des valeurs propres, elle a néanmoins le mérite à travers la courbe de pouvoir indiquer des propriétés générales. Ainsi nous effectuerons, un abus de langage, en désignant par mousses quasi-cospectrales, les mousses dont le spectre n’est pas absolument identique, mais dont la courbe a une forte ressemblance avec celle d’une autre mousse. Pour être plus explicite, nous attendons cette propriété entre des échantillons de taille différente pour la même mousse étudiée afin de donner une caractéristique robuste qui permettra de la comparer par la suite avec une autre mousse. Voilà la voie ouverte par la théorie spectrale des graphes.