Le théorème de Hasse qui avait été conjecturé par Artin, donne une borne sur le nombre de points rationnels d’une courbe elliptique E(q) sur un corps fini à q éléments.

Il est équivalent à la détermination de la valeur absolue des racines de la fonction zéta locale de E(F_q).

Le premier fait remarquable de ce théorème c’est qu’il est optimal dans le cas général. En effet si nous considérons l’ensemble des courbes elliptiques modulo 5, les bornes sont atteintes pour a = 2 et b = 0 (2 points, nombre qui représente le minimum) et pour a = 3 et b = 0 (10 points, nombre qui représente le maximum).

Par contre bien que son résultat soit accessible de manière relativement élémentaire sa démonstration classique fait intervenir la théorie générale en exploitant des outils comme la fonction zéta locale et la cohomologie étale. Ce phénomène n’est pas si rare en théorie des nombres aussi il ne nous préoccupe pas surtout que la théorie des courbes elliptiques a été un des principaux outils de la démonstration du théorème de Fermat via la démonstration d’un cas spécial de la conjecture de Taniyama-Shimura désormais démontrée et qui faisait un lien avec les formes modulaires.

Néanmoins, avec l’endomorphisme de Frobenius, il est pour ainsi dire possible d’effectuer un calcul relativement direct. Soit , l’endomorphisme de Frobenius, alors

aussi car est séparable.

car

et comme , nous avons : .

Aussi il existe et donc .

Ainsi si nous considérons , nous avons :

.

En posant : m = 2 et n = t ainsi que : nous obtenons finalement : et donc : .

Le résultat est là mais sa profondeur écrase l’élémentaire de la théorie .